5.4. Foton w polu grawitacyjnym

Weźmy materialną kulę o masie M' i środku S. W punktach A i B leżących na osi SX, prostokątnego układu współrzędnych SXYZ, znajdują się odpowiednio obserwatorzy O_A i O_B. Daleko od kuli i innych ciał materialnych znajduje się obserwator O'. Z punktu B do A porusza się foton. Zakładam, że dla obserwatora O' energia fotonu pozostaje stała, ponieważ foton nie oddziałuje z polem grawitacyjnym.

E' = hv' = const..

Stąd wynika, że dla obserwatora O' częstotliwość fotonu v' jest stała.

Rys. 5.4.1.

Foton poruszający się w polu grawitacyjnym od punktu B do A, dla obserwatora O', nie zmienia swojej częstotliwości

.

Jeżeli wzdłuż toru fotonu umieścimy obserwatorów spoczywających na osi OX, to dla każdego z nich częstotliwość fotonu jest inna ze względu na zmianę tempa upływu czasu.

Oznaczmy

i

.

Częstotliwości fotonu, dla O', w punktach B i A są odpowiednio i . Dla obserwatora O_B częstotliwość fotonu jest , natomiast dla O_A jest .

Ponieważ

,

więc

i odpowiednio

.
 

Dla obserwatora O' częstotliwość

,

więc

.
 

Jeżeli masę kuli i odległości mierzy obserwator O_B, to

Jeżeli foton o częstotliwości spada z niewielkiej wysokości H, nad powierzchnią Ziemi o promieniu R, to jego częstotliwość na powierzchni Ziemi jest równa

.
 

Ponieważ

i

,

więc

.

Podstawiając

GM_Z = gR²,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim na powierzchni Ziemi otrzymujemy

.

Częstotliwość fotonu

.

Stąd otrzymujemy

,
 

.