5.4. Foton w polu grawitacyjnym
Weźmy materialną kulę o masie M' i środku S. W punktach A i B leżących na osi SX, prostokątnego układu współrzędnych SXYZ, znajdują się odpowiednio obserwatorzy OA i OB. Daleko od kuli i innych ciał materialnych znajduje się obserwator O'. Z punktu B do A porusza się foton. Zakładam, że dla obserwatora O' energia fotonu pozostaje stała, ponieważ foton nie oddziałuje z polem grawitacyjnym.
E' = hv' = const..
Stąd wynika, że dla obserwatora O' częstotliwość fotonu v' jest stała.
Rys. 5.4.1.
Foton poruszający się w polu grawitacyjnym od punktu B do A, dla obserwatora O', nie zmienia swojej częstotliwości
.
Jeżeli wzdłuż toru fotonu umieścimy obserwatorów spoczywających na osi OX, to dla każdego z nich częstotliwość fotonu jest inna ze względu na zmianę tempa upływu czasu.
Oznaczmy
i
.
Częstotliwości fotonu, dla O', w punktach B i A są odpowiednio i . Dla obserwatora OB częstotliwość fotonu jest , natomiast dla OA jest .
Ponieważ
,
więc
i odpowiednio
.
Dla obserwatora O' częstotliwość
,
więc
.
Jeżeli masę kuli i odległości mierzy obserwator OB, to
Jeżeli foton o częstotliwości spada z niewielkiej wysokości H, nad powierzchnią Ziemi o promieniu R, to jego częstotliwość na powierzchni Ziemi jest równa
.
Ponieważ
i
,
więc
.
Podstawiając
GMZ = gR2,
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim na powierzchni Ziemi otrzymujemy
.
Częstotliwość fotonu
.
Stąd otrzymujemy
,
.