5.2. Ruch planety dookoła Słońca

Pierwszy sposób wyznaczania orbity planety.

Dla obserwatora O', znajdującego się daleko od Słońca, planety i innych ciał materialnych, masa planety i tempo upływu czasu zależą od miejsca przestrzeni, w którym te wielkości są mierzone. Ruch planety dookoła Słońca jest swobodnym spadkiem jednego ciała na drugie wobec tego dla obserwatora O' ich masy pozostają stałe. Pędy tych ciał zmieniają się w zależności od odległości r między nimi. Ruch planety wyznacza obserwator O' w układzie O'X'Y'Z'. Dla uproszczenia zapisu układ O'X'Y'Z' został przesunięty tak, że pokrywa się z układem S'X'Y'Z'. Stąd jednostki długości na osiach układu S'X'Y'Z' są takie same jak dla układu O'X'Y'Z'. Niech m' i M' oznaczają odpowiednio masę grawitacyjną planety i masę Słońca , mierzone przez obserwatora O'. Masa bezwładna planety

,
 

gdzie

.

Ruch planety jest jej swobodnym spadkiem na Słońce, dlatego .

Prędkość planety jest stosunkowo niewielka i możemy przyjąć .

Dla planety Merkury β = 1 - 1,4⋅10^-8. Dla pozostałych planet β jest jeszcze bliższa liczbie jeden.

Rys. 5.2.1.

Równanie ruchu planety w układzie S'X'Y'Z', ma postać (patrz 3.4.)

.

Współczynnik

i

.

Ponieważ jest dla planety wielkością stałą, więc równanie ma postać

Współczynnik β jest bardzo bliski jeden. W dalszym ciągu przyjmuję β = 1.

Dla uproszczenia zapisu zamiast t', r', w', M' będę pisał odpowiednio t, r, w, M.

We współrzędnych kartezjańskich ruch planety dookoła Słońca wyznacza rozwiązanie x = x(t), y = y(t) układu równań różniczkowych.

Po pomnożeniu pierwszego równania przez -y oraz drugiego przez x i dodaniu stronami otrzymujemy równanie.

We współrzędnych biegunowych x = r cos φ, y = r sin φ.

Stała P jest w przybliżeniu podwojoną prędkością polową planety.

Układ równań

mnożymy odpowiednio przez oraz i dodajemy stronami.

Dla współrzędnych biegunowych

oraz

x² + y² = r².

Wprowadźmy oznaczenie

.

Otrzymujemy równanie liniowe

.

Rozwiązujemy równanie jednorodne

.
 

Uzmienniamy stałą i rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne.

Pomijam wyraz

i następne, jako bardzo małe.

Rozwiązanie ma postać

.
 

Podstawmy

,
 

.
 

Odpowiednie równanie w teorii Newtona ma postać

.
 

Oznaczmy

.

Dla orbity newtonowskiej q = 1 .

Szukam rozwiązania tego równania w postaci u = a + b cos qφ .

L = b²q² - b²q² cos² qφ
 

Funkcja u = a + b cos qφ jest rozwiązaniem równania

,

jeżeli są spełnione następujące warunki

i

.

Rozwiązując układ otrzymujemy

i

.
 

Oznaczmy

i

.

Wówczas

.

Kolejne minima funkcji r(φ) będą w odstępie Δφ takim, że qΔφ = 2π.

Obliczone przesunięcie peryhelium planety .

Rzeczywista orbita planety niewiele odbiega od orbity obliczonej na podstawie prawa Newtona. Z III prawa Keplera

i wzoru na pole elipsy

otrzymujemy

,

gdzie

jest kwadratem prędkości polowej, a dużą półosią natomiast e mimośrodem elipsy. Kwadrat podwojonej prędkości polowej P² = GMa(1 - e²).

                      w = 1476,69 m
 

Obliczone przesunięcia peryhelium są zgodne z wartościami uzyskanymi z obserwacji astronomicznych i są takie same jak w OTW.

Prędkość polowa planety nie jest stała. Określa ją wartość wyrażenia

,

gdzie P jest wartością stałą. Prędkość polowa planety w niewielkim stopniu zależy od jej odległości od Słońca.

Różnica prędkości polowej dla aphelium i peryhelium jest równa

.

Ponieważ

oraz

są bliskie zera, więc

.
 

Dla planety Merkury

,
 

i

.

Obliczone równanie orbity planety ma postać

i

.
 

Dla orbity newtonowskiej mamy

.
 

Drugi sposób wyznaczania orbity planety.

Energia kinetyczna planety jest określona wzorem

.
 

.

Energię potencjalną określam wzorem

.
 

.

Lagrangian ma postać

.
 

Równania Lagrangea

mają postać

Równania mnożymy odpowiednio przez -y i x i dodajemy stronami.

We współrzędnych biegunowych x = r cos φ, y = r sin φ.

Stała P jest w przybliżeniu podwojoną prędkością polową planety.

Równania Lagrangea mnożymy odpowiednio przez i i dodajemy stronami.

Oznaczmy . Dla współrzędnych biegunowych

oraz

x² + y² = r².
 

Rozwiązujemy równanie jednorodne

.
 

Uzmienniamy stałą K i rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne.

Rozwiązanie ma postać

Podstawmy

,
 

.
 

Wartość jest bliska zera.

Otrzymaliśmy takie samo równanie jak w pierwszym przypadku.

Jednak prędkość polowa planety nie jest stała i jest określona innym wzorem niż w pierwszym przypadku. Określa ją wartość wyrażenia

,

gdzie P jest wartością stałą. Prędkość polowa planety w niewielkim stopniu zależy od jej odległości od Słońca.

Różnica prędkości polowej dla aphelium i peryhelium jest równa

.

Ponieważ

oraz

są bliskie zera, więc

.
 

Dla planety Merkury

,
 

i

.