1.5. Masa bezwładna i masa grawitacyjna

Masa bezwładna ciała jest sumą jego masy spoczynkowej i energii kinetycznej. Przypuśćmy, że masa grawitacyjna ciała jest równa jego masie bezwładnej. Weźmy w prostokątnym układzie współrzędnych OXYZ dwie jednakowe materialne tarcze ustawione równolegle do siebie, jedna pod drugą, które dla obserwatora O, w pierwszym przypadku, obracają się zgodnie z tą samą prędkością kątową ω. W drugim przypadku górna tarcza obraca się tak samo jak w pierwszym przypadku, natomiast dolna obraca się w przeciwną stronę z prędkością kątową ω. W obydwu przypadkach tarcze znajdują się w tej samej odległości od siebie.

Rys. 1.5.1.

Dla obserwatora O w obydwu przypadkach masy grawitacyjne tarcz są większe od mas spoczynkowych o wartość ich energii kinetycznej. Obydwie tarcze przyciągają się z siłą większą niż gdyby były w spoczynku. Dla obserwatora O w obydwu przypadkach siły przyciągania są jednakowe, niezależnie od kierunku obrotu tarcz.

Obserwator O' jest związany z górną tarczą. W pierwszym przypadku dolna tarcza pozostaje względem niego w spoczynku. Siła przyciągania tarcz jest dla tego obserwatora równa sile przyciągania ciał znajdujących się w spoczynku względem siebie. W drugim przypadku dolna tarcza obraca się z prędkością kątową 2ω i ma masę grawitacyjną większą od masy spoczynkowej o wartość jej energii kinetycznej. W drugim przypadku siła przyciąganie między tarczami, dla obserwatora O', jest większa niż w pierwszym przypadku.

Otrzymaliśmy sprzeczność. Siła przyciągania między tarczami, dla obserwatora O, nie zależy od kierunku obrotu tarcz, natomiast dla obserwatora O', poruszającego się w taki sam sposób względem O, zależy od sposobu ich obrotu. Unikniemy tej sprzeczności, jeżeli założymy, że siła przyciągania tarcz zależy tylko od ich mas spoczynkowych i nie zależy od ich energii kinetycznej.

W podobny sposób pokazano w części pierwszej, że masa bezwładna ciała nie jest równa jego masie grawitacyjnej.

Weźmy inercjalny układ współrzędnych O'X'Y'Z', poruszający się ruchem jednostajnym względem układu OXYZ, którego oś O'X' porusza się z prędkością wzdłuż osi OX.

Rys. 1.5.2.

W układzie O'X'Y'Z' spoczywają dwie kule o masach każda, których środki są w odległości r'. Odcinek łączący środki tych kul jest prostopadły do osi OX i równocześnie prostopadły do wektora prędkości . Na każdą kulę działa siła grawitacji określona w tym układzie wzorem

.

W układzie OXYZ masa bezwładna każdej kuli jest równa

,
 

.

Jeżeli masa grawitacyjna jest równa masie bezwładnej, to w układzie OXYZ siła oddziaływania grawitacyjnego między kulami (r' = r) jest równa

.

Jeżeli w układzie O'X'Y'Z' siła i w układzie OXYZ odpowiednio , to zgodnie ze wzorami na transformację siły w STW

,

,

.

Ta sprzeczność nie wystąpi, jeżeli przyjmiemy, że masa grawitacyjna nie zależy od prędkości ciała i jest równa masie spoczynkowej ciała. Do siły oddziaływania grawitacyjnego nie można, z całą dokładnością, stosować wzorów na transformację siły ze względu na skończoną prędkość rozchodzenia się oddziaływania grawitacyjnego. Jeżeli to uwzględnimy wówczas z dużą dokładnością jest równa rzeczywistej współrzędnej, względem osi OY, siły oddziaływania grawitacyjnego między kulami. Rzeczywista współrzędna tej siły, względem osi OX jest równa

. (Patrz podrozdział 1.1.)

(oznaczenia jak na rysunku 1.1.)

Masa grawitacyjna ciała nie zależy od prędkości, z jaką porusza się ciało i jest równa jego masie spoczynkowej.

Ten sam wniosek wynika również z tego, że siła grawitacyjnego oddziaływania między cząstkami elementarnymi nie zależy od ich prędkości ze względu na skokowy charakter ich ruchu.

Niech pęd cząstki pozostającej w spoczynku zmienia się o &Deltap₀, w czasie 1 sekundy, w wyniku jej oddziaływania z grawitonami. Jeżeli cząstka porusza się z prędkością v, wówczas wykonuje skoki na odległość

w czasie

.

Cząstka wykona

skoków na drodze 1 metra i

skoków w czasie 1 sekundy. Zmiana jej pędu w czasie 1 sekundy

.

Masa grawitacyjna m_g = m₀ i masa bezwładna

Dla małych prędkości energia kinetyczna ciała jest niewielka w stosunku do jego masy spoczynkowej m₀, dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem uznajemy, że te masy są równe. Jeżeli ciało o masie m₀ porusza się z prędkością wówczas masa bezwładna tego ciała jest o 5,6⋅10^-8 większa od jego masy spoczynkowej.

Niech dwie kule zbudowane z tego samego materiału mają taką samą masę i temperaturę. Jeżeli umieścimy je na tej samej wysokości nad powierzchnią Ziemi, to stwierdzimy, że mają taki sam ciężar. Jeżeli jedną z nich ogrzejemy do wyższej temperatury to zobaczymy, że w dalszym ciągu obydwie mają taki sam ciężar. Zwiększona energia kinetyczna cząstek kuli o wyższej temperaturze nie powiększa masy grawitacyjnej kuli, powiększa jedynie jej masę bezwładną.

Powszechnie uważa się, że doświadczenie Braginskiego ^[1] i Panowa (oraz podobne) z bardzo dużą dokładnością dowodzi równości masy bezwładnej i grawitacyjnej. Tak jednak nie jest. To doświadczenie pokazuje w gruncie rzeczy, że ciała zbudowane z różnych materiałów, znajdujące się blisko siebie, spadają w polu grawitacyjnym z tym samym przyspieszeniem. Oznacza to równocześnie, że stosunek masy bezwładnej ciała do jego masy grawitacyjnej jest jednakowy dla każdego ciała w tym doświadczeniu. Trzeba jednak dodać, że w tym doświadczeniu spełniony jest warunek: badane ciała spadają z taką samą prędkością początkową.

Jest to precyzyjna wersja doświadczenia Galileusza ze spadającymi ciałami.

To doświadczenie dowodzi jedynie, że każdy punkt materialny spadający swobodnie, w takim samym polu grawitacyjnym, z takimi samymi warunkami początkowymi, porusza się dokładnie z tym samym przyspieszeniem i równocześnie, że stosunek masy bezwładnej m_b punktu materialnego do jego masy grawitacyjnej m_g jest jednakowy dla każdego punktu materialnego, niezależnie od rodzaju materiału. Jeżeli punkty materialne C₁ i C₂ w każdej chwili mają taką samą prędkość, to

.
 

To nie dowodzi jednak, że stosunek jest stały niezależnie od prędkości spadającego ciała. W tym doświadczeniu nie mierzy się , tylko porównuje się te wartości dla różnych ciał, poprzez porównywanie ich przyspieszeń. Warunki tych doświadczeń powodują, że masa bezwładna każdego spadającego swobodnie ciała powiększa się w tym samym stopniu w zależności od prędkości (masa spoczynkowa jest mnożona przez ten sam czynnik), co powoduje, że stosunek jest jednakowy dla każdego ciała, niezależnie od tego czy masa grawitacyjna powiększa się równocześnie z masą bezwładną, czy też nie.

Aby rozstrzygnąć czy m_b = m_g albo należy zmodyfikować doświadczenie Galileusza. Z wysokości H nad powierzchnią Ziemi puszczamy swobodnie punkt materialny i mierzymy jego przyspieszenie a_H, gdy znajdzie się na niewielkiej wysokości d nad powierzchnią Ziemi (H > d). Następnie ten sam punkt materialny puszczamy swobodnie z wysokości h nad powierzchnią Ziemi (H > h > d) i mierzymy jego przyspieszenie a_h, gdy znajdzie się na wysokości d. Spadający punkt materialny ma, na wysokości d, większą prędkość w pierw­szym przypadku niż w drugim. Dlatego w chwili pomiaru przyspieszenia masa bezwładna punktu materialnego w pierwszym przypadku jest większa niż w drugim.

Gdyby okazało się, że a_H = a_h, to mielibyśmy dowód, że m_b = m_g. Jestem jednak przekonany, że w tym doświadczeniu otrzymamy a_H < a_h. Oznaczałoby to, że masa grawitacyjna nie zwiększa się równocześnie ze wzrostem masy bezwładnej.

W dalszym ciągu zakładam, że masa grawitacyjna ciała nie zależy od jego prędkości.

Jeżeli spadające swobodnie ciało o masie spoczynkowej m ma na wysokości d prędkość v i siła, z jaką jest przyciągane przez Ziemię jest równa F, to jego przyspieszenie jest równe

.
 

Dla prędkości v₁ i v₂ mamy odpowiednio

,
 

,
 

i

F₁ = F₂
 

(masa grawitacyjna nie zależy od prędkości).

Jeżeli

v₁ = 0,

to

i

.
 

Jeżeli

,

to

.

Ze względu na bardzo małą różnicę g - a₂ trudno wykazać doświadczalnie, że masa grawitacyjna nie zależy od prędkości ciała, nawet dla bardzo dużej prędkości v₂.

Weźmy, w polu grawitacyjnym Ziemi, swobodnie spadającą windę, w której znajdują się dwa swobodnie spadające ciała. Jedno ma względem windy prędkość równą zero, drugie porusza się z pewną niezerową prędkością względem windy. Obserwator poruszający się razem z windą stwierdzi, że pierwsze ciało ma względem windy przyspieszenie zerowe, natomiast drugie porusza się względem windy z pewnym przyspieszeniem zależnym od prędkości ciała. Spadająca swobodnie winda nie jest równoważna układowi inercjalnemu.

Weźmy w układzie inercjalnym windę poruszającą się z pewnym przyspieszeniem, w której znajdują się dwa ciała poruszające się z różnymi prędkościami. Obserwator poruszający się z windą stwierdzi, że obydwa ciała mają względem windy takie samo przyspieszenie. Układ odniesienia poruszający się w układzie inercjalnym z pewnym przyspieszeniem nie jest równoważny z układem odniesienia spoczywającym w polu grawitacyjnym.

Podstawą geometrycznej konstrukcji Ogólnej Teorii Względności jest równość masy bezwładnej i grawitacyjnej. Ponieważ ta równość, jak zostało wcześniej stwierdzone, jest przybliżona (zależy od prędkości ciała), więc również zasada równoważności przyjęta w OTW określa w pewnym przybliżeniu rzeczywisty ruch ciał „w spadającym swobodnie, nieobracającym się laboratorium, które zajmuje mały obszar czasoprzestrzeni”.^[2] Ciała swobodnie spadające z bardzo dużą prędkością poruszają się z pewnym niezerowym przyspieszeniem względem laboratorium. Zakładam, że te ciała poruszają się w niewielkim obszarze zajmowanym przez to laboratorium. Gdyby masa grawitacyjna byłaby równa masie bezwładnej wówczas wszystkie spadające swobodnie ciała (poruszające się w obszarze laboratorium), niezależnie od ich prędkości, powinny poruszać się w stosunku do laboratorium z przyspieszeniem zerowym.

W OTW zakłada się, że każde dwa ciała wyrzucone z tego samego miejsca pola grawitacyjnego, z takimi samymi prędkościami początkowymi poruszają się po tym samym torze.

Weźmy dwie kule. Jedna wiruje z dużą prędkością druga nie. Jeżeli wyrzucimy je z takiego samego miejsca pola grawitacyjnego, taką samą prędkością początkową, to nie będą poruszać się po tym samym torze. Stosunek nie jest taki sam dla tych kul. Tak samo zachowają się dwie kule o różnych temperaturach.

W przypadku małych prędkości (Układ Słoneczny, podwójne układy gwiazd) wnioski wynikające z OTW zgadzają się bardzo dobrze z rzeczywistością. Dla bardzo dużych prędkości ciał przewidywania OTW mogą znacznie odbiegać od stanu faktycznego.

Wykorzystując niezależność masy grawitacyjnej od prędkości można zbudować opisany poniżej detektor fal grawitacyjnych.

Rys. 1.5.3.

Lewa strona rysunku przedstawia widok detektora z przodu, prawa szklany cylinder z emiterem widziany z góry.

Między biegunami elektromagnesu lub magnesu znajduje się szklany, płaski cylinder, w którym, prostopadle do linii sił pola magnetycznego, porusza się po okręgu strumień elektronów. Natężenie pola magnetycznego elektromagnesu jest stałe. Po obu stronach cylindra znajdują się płaskie miedziane pierścienie, które zamiast znajdować się na zewnątrz cylindra mogłyby znajdować się w jego wnętrzu. Wewnątrz cylindra znajduje się próżnia. Elektrony są wprowadzane do szklanego cylindra z emitera, który nadaje im taką energię, aby ich masa bezwładna była przynajmniej dwa razy większa niż masa spoczynkowa a zarazem grawitacyjna. Wystarczy 1 MeV. Z czasem elektrony stopniowo tracą energię i poruszają się po spirali coraz bliżej środka cylindra. Do strumienia należy wprowadzić jak najwięcej elektronów i każdy elektron powinien dostatecznie długo znajdować się w tym strumieniu. Ostatecznie elektrony są odprowadzane na zewnątrz przez elektrodę znajdującą się w środku cylindra. Na ich miejsce wprowadzane są nowe mające odpowiednią energię. Odpowiednie ukształtowanie pola magnetycznego powinno zapewnić stabilne położenie strumienia elektronów w jednakowej odległości od miedzianych pierścieni i jego symetrię względem osi cylindra. Jeżeli nastąpi odchylenie strumienia elektronów od tego położenia, to po pewnym czasie nastąpi powrót do stanu początkowego.

Ustawmy detektor tak, aby siła, z jaką działa na niego fala grawitacyjna, była prostopadła do płaszczyzny, w której poruszają się elektrony. Siła, F_g z jaką fala grawitacyjna działa na elektron nie zależy od tego, czy elektron pozostaje w spoczynku czy porusza się. Elektron spoczywający, jak również każda inna spoczywająca cząstka, uzyska przyspieszenie

,
 

natomiast elektron poruszający się w strumieniu

.
 ,
 

,
 

Jeżeli w wyniku działania fali grawitacyjnej detektor przesunie się o wektor (jak na rysunku 1.5.3.), wówczas strumień elektronów przesunie się o wektor , ponieważ jego masa bezwładna jest dwa razy większa od masy grawitacyjnej. W efekcie strumień elektronów zbliży się do jednego miedzianego pierścienia o wektor oraz oddali się od drugiego o wektor . Spowoduje to zmianę różnicy potencjałów między pierścieniami, co może zostać zarejestrowane. Jeżeli detektor zostanie przesunięty w przeciwną stronę, wówczas różnica potencjałów zmieni znak na przeciwny.

Rys. 1.5.4.

Początkowo między pierścieniami znajduje się ładunek Q, strumienia elektronów, w odległości x od każdego z nich. Różnica potencjałów między pierścieniami jest równa zero.

Po przesunięci ładunku Q o dx (jak na rysunku 1.5.4.), potencjał górnego pierścienia jest równy

,

natomiast dolnego

.
'x'

Różnica potencjałów U między pierścieniami jest określona wzorem

.
 

Ponieważ dx jest bardzo małe w stosunku do x, to możemy z bardzo dobrym przybliżeniem przyjąć

.
 

Niech x = 2⋅10 ^-2 m, Q = 10^-8 C, dx = 10^-10 m.

Wówczas .

Zamiast strumienia elektronów można wziąć strumień protonów. Użycie protonów zamiast elektronów skomplikowało by konstrukcję detektora, ale byłby on bardziej odporny na zakłócenia elektromagnetyczne.