5.1. Zakrzywienie promieni świetlnych w pobliżu Słońca

Foton poruszający się blisko Słońca zmienia swoją prędkość. Powoduje to zakrzywienie jego toru. Środek Słońca znajduje się w punkcie S układu SXYZ. Ruch fotonu wyznacza obserwator O' znajdujący się daleko od Słońca i innych ciał. Foton porusza się w płaszczyźnie SXY przechodzącej przez środek Słońca.

Dla uproszczenia zapisu układ O'X'Y'Z' został przesunięty tak, że pokrywa się z układem SXYZ. Stąd jednostki długości na osiach układu SXYZ są takie same jak dla układu O'X'Y'Z'. Masa Słońca jest równa M.

Ze względu na zmianę prędkości światła tor ruchu fotonu jest taki, aby czas przejścia z punktu P₁ do punktu P₂ był najkrótszy.

Rys. 5.1.1.

Dla obserwatora O' prędkość światła w układzie SXYZ jest określona wzorem

gdzie

.

Jeżeli tor ruchu jest określony równaniem y = y(x), to czas w jakim światło przejdzie z punktu P₁ do punktu P₂ jest określony następującym wzorem

.

Funkcja podcałkowa ma postać

.

Aby określić tor ruchu światła należy znaleźć krzywą

y = y(x),

dla której funkcjonał

przyjmuje wartość najmniejszą. Warunkiem koniecznym, istnienia ekstremum takiego funkcjonału, jest spełnienie równania

.

Obliczenia pochodnych cząstkowych dają następujące wyniki.

Po podstawieniu do warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcjonału otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego.

Równanie określa tor fotonu y = y(x) jako wynik zmiany prędkości światła.

Rys. 5.1.2.

Odchylenie toru fotonu, przebiegającego blisko Słońca, od prostej zostało obliczone przy pomocy programu napisanego w Borland C++.

#include <iostream.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>
long int N,i;
long double x,y,x1,y1,r,R,M,G,c,d,dx,czas,w,u,z,od;
int main() { clrscr(); N = 10000; R = 6.96e8; M = 1.989e30; G = 6.67259e-11; c = 2.99792458e8; czas = 1200.0; d = c * czas; dx = d / N; w = G * M / ( c * c ); x = -d / 2; y = R; r = sqrt(x * x + y * y); u = 0; for (i = 1; i < N+1; i++) { if (i == N) { x1 = x; y1 = y; } z = 2 * w * (x * u - y) * (1 + u * u) / (r * r * (r + w)); x = -d / 2 + d * i / N; y = y + u * dx + 0.5 * z * dx * dx; u = u + z * dx; r = sqrt(x * x + y * y); } od = (y - y1) / (x - x1); cout << " N=" << N << endl; cout << "odchylenie=" << -od * 180 * 3600 / 3.141592; getch(); return 0;
}

W programie przyjęto, że w chwili początkowej foton jest w odległości 600 s świetlnych od Słońca i porusza się wzdłuż stycznej do jego powierzchni. Czas ruchu fotonu jest równy 1200 s. Odległość d = 1200c m podzielono na N równych części. Argument x zmienia się od do . Warunki początkowe y(x₀) = R, y'(x₀) = 0. Wartość φ = -y'(x₁) jest odchyleniem, w radianach, promienia światła od toru prostoliniowego. Na początku pętli for obliczane są nowe współrzędne fotonu. Następnie przyjmowane są nowe warunki początkowe do kolejnego kroku obliczeniowego. Końcowe odchylenie biegu światła jest w sekundach kątowych. Wyniki działania programu przedstawia tabela.
 

 
Dalsze powiększanie wartości N daje stale wartość φ = 1,7505".

Jeżeli w równaniu przyjmiemy y' = 0, wartość w = 0 w wyrażeniu i y = R, to otrzymamy uproszczone równanie

.
 

Ponieważ

,

więc

.
 

R jest bardzo małe w stosunku do . Stąd

.

Podstawiając

otrzymujemy

.

Odchylenie

.
 

φ = 8,4867⋅10^-6 rad = 1,7505"

W otoczeniu Słońca zmieniają się własności przestrzeni, co powoduje zmianę prędkości fotonu poruszającego się blisko jego powierzchni. Z tego powodu foton przebiegający w pobliżu Słońca porusza się po torze krzywoliniowym ale nie w wyniku oddziaływania grawitacyjnego. Fotony nie oddziałują z grawitonami. Masa grawitacyjna fotonu jest równa zero.

Stwierdzenie, w OTW, że każda energia oddziałuje grawitacyjnie jest nieprawdziwe. Na przykład energia kinetyczna ciała, niezależnie od jej wielkości, nie zmienia masy grawitacyjnej ciała. Można napisać, że masa fotonu jest równa

,

ale to nie oznacza, że to jest masa grawitacyjna.

Jeżeli cząstka ma masę grawitacyjną m, to z tą cząstką jest związana energia

E = mc².

Natomiast nie jest prawdą, że każdej energii odpowiada masa grawitacyjna

.

Na przykład energii kinetycznej cząstki nie odpowiada żadna masa grawitacyjna.