2.4. Odległość punktów w polu grawitacyjnym

Dla ustalonego obserwatora współczynnik zmienia się w zależności od miejsca w przestrzeni układu współrzędnych. Odległość dwóch dalekich punktów, dla obserwatora , zależy od ich położenia w przestrzeni i jest na ogół różna od odległości mierzonej w prostokątnym układzie współrzędnych.

Rys. 2.4.1.

Weźmy kulę o środku w punkcie , promieniu i masie w układzie współrzędnych powstałym przez przesunięcie układu związanego z obserwatorem , który znajduje się daleko od kuli i innych ciał materialnych. Na osi są odłożone takie same jednostki długości jak na osiach układu obserwatora. Dla obserwatora odległość punktów i , w układzie współrzędnych , jest równa

.

Dla obserwatora element długości obliczony przez tego obserwatora, przy pomocy własnej jednostki długości, dla miejsca gdzie znajduje się obserwator , jest określony równaniem

.

Odległość punktów i , obliczona przez obserwatora , jest równa

.

Odległość punktów i jest równa

gdzie

i

.

Dla odległości punktów i

.

Odległość punktów i , 0bliczona przez obserwatora jest równa

.

dla

.

Dla każdego i odległość . Odległość punktu materialnego od środka kuli zależy od masy kuli i jej promienia. Jeżeli promień kuli zmniejsza się, bez zmiany masy, to odległość ustalonego punktu od środka kuli rośnie. Największa odległość jest wtedy, gdy materia znajduje się w kuli o promieniu . Wtedy odległość jest równa

.

Również w tym przypadku dla odległość .

Weźmy dwie materialne kule o masach i , środkach i , promieniach i , współczynnikach i , dla których odległość środków jest równa oraz stosunki i są bliskie zera. Odległość tych kul jest określona wzorem

.

Jeżeli stosunek jest bliski zera, to drugą kulę możemy traktować jak punkt materialny i odległość środków tych kul jest równa

Dla Układu Słonecznego stosunek dla Merkurego, Wenus i Ziemi jest mniejszy od , dlatego te planety możemy traktować jak punkty materialne w stosunku do Słońca. Odległość planety od Słońca obliczona przez obserwatora jest równa, z dobrym przybliżeniem, odległości w układzie współrzędnych.